KETENTUAN

Untuk x <<< ( x ® 0 ) maka sin x » x (x <<< kecil sekali ; » setara ) l i m sin x = 1 l i m tg x = 1 x ® 0 x x ® 0 x

l i m x = 1 l i m x = 1
x ® 0 sin x x ® 0 tg x

PERLUASAN

l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x ® 0 bx x ® 0 bx

l i m ax = a/b l i m ax = a/b
x ® 0 sin bx x ® 0 tg bx

l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x ® 0 sin bx x ® 0 tg bx


l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b
x ® 0 tg bx x ® 0 sin bx

Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi:

cos x = sin (90° - x)
ctg x = tg (90° - x)
sin ax = 2 sin ½ax cos ½ax
cos ax = 1- 2 sin² ½ax
cos²x = 1 - sin²x


HAL-HAL KHUSUS

l i m axm + bxm-1 + .... =
x ® ¥ pxn + qxn-1 + ...
¥ untuk m > n ;
a/p untuk m =n ;
0 untuk m < n l i m Öax2 + bx + c - Ödx2 + ex + f x ® ¥ ¥ untuk a > d ;
b-e untuk m =n ;
2Öa
-¥ untuk a < d Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar. DALIL L'HOSPITAL Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = ¥ maka l i m f(x) = l i m f(x) x ® ¥ g(x) x ® a g(x) CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR 1. l i m x2 - 5x + 6 = (3)2 - 5(3) + 6 = 0 x ® 3 2. l i m 3x - 2 = ¥ (*) Uraikan x ® ¥ 2x + 1 ¥ x(3 - 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3 x(2 - 1/x) 2 + 1/x 2 - 0 2 atau langsung gunakan hal khusus 3. l i m x2 - x - 1 = ¥ (*) Uraikan x ® ¥ 10x + 9 ¥ x(x - 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x = ¥ - 1 - 0 = ¥ =¥ x(10 - 9/x) 10 + 9/x 10 + 0 10 atau langsung gunakan hal khusus 4. l i m x2 - 3x + 2 = 0 (*) Uraikan x ® 2 x2 - 5x + 6 0 (x - 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1 (x - 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3 atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial 5. l i m x3 - 3x2 + 3x - 1 = 0 (*) Uraikan x ® 1 x2 - 5x + 6 0 (x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0 (x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6 atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial 6. l i m Ö2 + x - Ö2x = 0 (*) Hilangkan tanda akar dengan x ® 2 x - 2 0 mengalikan bentuk sekawan (x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0 = 0 (x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6 atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial 7. l i m (3x - Ö9x2 + 4x) = ¥ - ¥ (*) Hilangkan tanda akar x ® ¥ l i m (3x - Ö9x2 + 4x ) = é 3x - Ö9x2 + 4x ù = (*) Hilangkan tanda x ® ¥ ë 3x - Ö9x2 + 4x û akar l i m (9x2 - (9x2 + 4x) = l i m -4x = x ® ¥ 3x + Ö(9x2 + 4x) x ® ¥ 3x + 3x Ö[1+(a/9x)] l i m -4 = -4 = -2 x ® ¥ 3 + 3Ö(1 + 0) 6 3 atau langsung gunakan hal khusus CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI 1. l i m sin 2x = 0 (*) x ® 0 tg 3x 0 sin 2x = 3x 2 = 1 . 1 . 2 = 2 2x tg 3x 3 3 3 2. l i m 1 - cos 2x = 0 x ® 0 sin 2x 0 1 - (1 - 2 sin² 2x) = 2 sin² x = sin x = tg x = 0 2 sin x cos x 2 sin x cos cos x 3. l i m 1 - cos x = 0 x ® 0 3x² 0 2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1 3 . 4 . (½x) 6 (½x) (½x) 6 6 atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial 4. l i m sin x - sin a = 0 (*) x ® 0 x - a 0 2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) = x - a ½ (x - a ) cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial